楕円の書き方2本のくぎと糸で書く方法と焦点・寸法表の計算
楕円の型板は、2本のくぎと糸で書く方法と、寸法表から点を取る方法があります。この記事では、焦点の位置と糸の長さの出し方、中心線からの高さの計算、周の長さと面積の出し方を、1,200×800mmの楕円の例で説明します。
2本のくぎと糸で書く
楕円は、2つの焦点からの距離の合計が一定になる点の集まりです。長い方の直径をA、短い方をBとすると、焦点は中心から次の距離の位置にあります。
| 求めるもの | 計算式 | 1,200×800の楕円 |
|---|---|---|
| 中心から焦点まで | √（（A ÷ 2）² −（B ÷ 2）²） | 447.2mm |
| 焦点の間隔 | 上の値 × 2 | 894.4mm |
| 糸の長さ（両端を焦点に留める） | A | 1,200mm |
- 長い方の中心線を引き、中心から左右に447.2mmの位置にくぎを打ちます。
- 長さ1,200mmの糸の両端を、2本のくぎに留めます。
- 鉛筆で糸をぴんと張りながら、ぐるりと回すと楕円が書けます。
寸法表から点を取って書く
糸が使えない場所では、中心線からの高さを計算して点を取ります。長い方の半径をa、短い方をbとすると、中心からxの位置での高さは b × √（1 − x² ÷ a²）です。1,200×800の楕円を12等分すると、次のようになります。
| 端からの距離（mm） | 中心線からの高さ（mm） |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 100 | 221.1 |
| 200 | 298.1 |
| 300 | 346.4 |
| 400 | 377.1 |
| 500 | 394.4 |
| 600（真ん中） | 400.0 |
反対側の半分は同じ値になります。中心線の上下に同じ高さを取れば楕円全体、上だけ取れば半分の楕円（楕円アーチ）になります。
楕円アーチでは、開口の幅を長い方の直径Aにします。アーチの高さを短い方の半径bにします。短い方の直径Bは、アーチの高さの2倍です。
枠のように幅のある型板の外側の線は、ひと回り大きい楕円とは少しずれます。外側の線は、内側の線から直角に幅を測って点を取ります。
計算例2：幅1,800・高さ450の楕円アーチ
開口の幅1,800mmを長い方の直径A、アーチの高さ450mmを短い方の半径bにします（短い方の直径Bは900mm）。
| 求めるもの | 値 |
|---|---|
| 中心から焦点まで | √（900² − 450²）＝ 779.4mm |
| 糸の長さ（両端を焦点に留める） | 1,800mm |
| アーチの縁の長さ（楕円の周の半分） | 約2,180mm |
| アーチの面積（楕円の半分） | 約0.636㎡ |
開口の端から150mmごとの高さは次のとおりです（反対側の半分も同じ値）。
| 端からの距離（mm） | 高さ（mm） |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 150 | 248.7 |
| 300 | 335.4 |
| 450 | 389.7 |
| 600 | 424.3 |
| 750 | 443.7 |
| 900（真ん中） | 450.0 |
楕円アーチと円弧アーチの違い
同じ幅と高さでも、楕円は端で立ち上がりが急になり、真ん中が平らに近くなります。円弧のアーチは、端から真ん中まで同じ曲がり具合です。幅1,800mm・高さ450mmを円弧にすると、半径は1,125mmで、端から150mmの位置の高さは163.5mmと、楕円の248.7mmより低くなります。円弧のアーチの計算は円弧の半径を弦と矢高から計算する方法で説明しています。
周の長さと面積
楕円の面積は π × a × b で、1,200×800なら0.754㎡です。周の長さは簡単な式では出せないので、近似式（ラマヌジャンの式）π ×（3（a ＋ b）− √（（3a ＋ b）（a ＋ 3b）））を使います。1,200×800なら約3,173mmです。縁に材料を回すときの長さの目安になります。
よくある失敗
焦点の位置を直径で計算する
焦点までの距離の式は、半径（直径の半分）を使います。直径のまま計算すると、焦点が2倍遠くなり、形が変わります。
糸が伸びる・たるむ
伸びやすい糸を使うと、長い方の直径が大きくなります。伸びにくい糸を使い、書き始める前に、糸を張った鉛筆が長い方の端にぴったり届くかを確かめます。
型板の外側の線をひと回り大きい楕円で書く
幅のある枠の外側は、内側の楕円から直角に同じ幅をとった線です。ひと回り大きい楕円とは形が少しずれるので、内側の線から直角に幅を測って点を取ります。
楕円の書き方についてよくある質問
くぎを打つ焦点の位置はどう出しますか
長い方の半径をa、短い方の半径をbとして、中心から √（a² − b²）の位置です。1,200×800の楕円なら、中心から左右に447.2mmです。
糸の長さはいくつにしますか
両端を2本のくぎに留める場合は、長い方の直径と同じ長さにします。糸を輪にして2本のくぎに掛ける場合は、長い方の直径に焦点の間隔を足した長さの輪にします。
楕円の周の長さは
簡単な式では出せないので、ラマヌジャンの近似式を使います。1,200×800の楕円なら約3,173mmです。
