円柱の展開図の書き方長方形の横の長さと、斜めに切った円柱の展開図
円柱の展開図は、側面の「長方形」と、上下の2つの「円」でできています。長方形の横の長さを底面の円周に合わせるのがポイントです。この記事では、円柱の展開図の書き方と、円柱を斜めに切ったときの展開図の出し方を説明します。
円柱の展開図は「長方形＋円2つ」
円柱の側面を縦にまっすぐ切って開くと、長方形になります。長方形の縦は円柱の高さ、横は底面の円のまわりの長さ（円周）です。長方形の横の辺が円にぐるりと巻きつくので、この2つは同じ長さになります。
| 求めるもの | 計算式 |
|---|---|
| 長方形の横の長さ | 直径 × π（半径 × 2 × π） |
| 長方形の縦の長さ | 円柱の高さ |
| 側面積 | 直径 × π × 高さ |
| 表面積 | 側面積 ＋ 底面積 × 2 |
計算例：直径6cm・高さ10cmの円柱
| 求めるもの | 計算 | 値 |
|---|---|---|
| 長方形の横の長さ | 6 × 3.14 | 18.84cm |
| 長方形の縦の長さ | 高さ | 10cm |
| 側面積 | 18.84 × 10 | 188.4cm² |
| 底面積（1つ） | 3 × 3 × 3.14 | 28.26cm² |
| 表面積 | 188.4 ＋ 28.26 × 2 | 244.92cm² |
円周率を3.14で計算した値です。円周率をπのまま使うと、表面積は78π cm²になります。
展開図の描き方
- 横18.84cm、縦10cmの長方形をかきます。
- 長方形の上の辺のまん中に接するように、半径3cmの円をかきます。
- 下の辺にも同じように半径3cmの円をかきます。
- 組み立てる場合は、長方形の片側の縦の辺と、円のまわりにのりしろを付けます。
円は長方形の辺のどこに付けてもかまいません。まん中に付けると、形がとらえやすくなります。
円柱を斜めに切ったときの展開図
円柱を斜めに切ると、横から見た切り口はまっすぐな線ですが、側面を開くと切り口は波の形になります。直径をD、切る角度（底面と平行な面からの傾き）をθとすると、円周をN等分した各点の、いちばん低いところからの高さは次の式で出ます。
| 求めるもの | 計算式 |
|---|---|
| 各点の高さ | D ÷ 2 × tanθ ×（1 − cos φ） |
| いちばん高い点 | D × tanθ |
| 切り口（楕円）の長い方の直径 | D ÷ cosθ |
φは円周上の角度で、N等分のi番目なら 360° × i ÷ N です。
計算例：直径100mmの円柱を30度に切る
12等分で計算すると、長方形の横の長さは314.2mm、点と点の間隔は26.2mmです。
| 点 | 端からの距離（mm） | いちばん低い点からの高さ（mm） |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 26.2 | 3.9 |
| 2 | 52.4 | 14.4 |
| 3 | 78.5 | 28.9 |
| 4 | 104.7 | 43.3 |
| 5 | 130.9 | 53.9 |
| 6 | 157.1 | 57.7 |
点7〜12は、点5〜0と同じ高さで戻ってきます。いちばん高い点は100 × tan30° ＝ 57.7mmです。各点を順になめらかな曲線でつなげば、切り口の線になります。
この計算は、配管の現場でパイプを斜めに切る型紙と同じです。パイプの斜め切りの展開図ツールに直径と角度を入れると、この表と原寸の型紙がすぐに出ます。考え方のくわしい説明はパイプの斜め切りの展開図、分割数の決め方は展開図は何分割がいい？、原寸で印刷するコツは型紙を原寸で印刷するコツにまとめています。
パイプに型紙を巻くときは、型紙の下の直線を、残す側（管端から離れた側）に引いた基準線に合わせます。曲線の山は管端に向けます。こう巻くと、表の点0（高さ0）がいちばん短い側になります。
