円弧の半径を弦と矢高から計算する方法アーチ・R開口の書き方
R付きの開口やアーチ、R天井を作るときは、開口の幅（弦）と、真ん中の高さ（矢高）から円弧の半径を出します。この記事では、半径の計算式と、中心が取れない場所でも円弧を書ける「弦からの高さの表」の出し方を説明します。
弦と矢高と半径の関係
| 求めるもの | 計算式 |
|---|---|
| 半径 R（弦Cと矢高hから） | （C² ÷ 4 ＋ h²）÷（2 × h） |
| 矢高 h（弦Cと半径Rから） | R − √（R² − C² ÷ 4） |
| 弦からの高さ（真ん中からxの位置） | √（R² − x²）−（R − h） |
| 円弧の長さ | 2 × R × sin⁻¹（C ÷（2R））（ラジアン、矢高が弦の半分以下のとき） |
計算例：幅1,800mm・矢高300mmのアーチ
半径は（1,800² ÷ 4 ＋ 300²）÷（2 × 300）＝ 1,500mm、中心は弦の真ん中から1,200mm下です。円弧の長さは1,930.5mmになります。弦を10等分した位置での高さは次のとおりです。
| 弦の端からの距離（mm） | 弦からの高さ（mm） |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 180 | 115.9 |
| 360 | 199.4 |
| 540 | 256.2 |
| 720 | 289.2 |
| 900（真ん中） | 300.0 |
| 1,080 | 289.2 |
| 1,260 | 256.2 |
| 1,440 | 199.4 |
| 1,620 | 115.9 |
| 1,800 | 0 |
よく使う組み合わせ
| 弦の長さ | 矢高 | 半径 |
|---|---|---|
| 900 | 150 | 750 |
| 1,800 | 300 | 1,500 |
| 1,800 | 900 | 900（半円） |
| 2,700 | 450 | 2,250 |
半径から決める場合、たとえば幅1,800mmの開口を半径2,000mmの円弧にすると、矢高は213.9mm、円弧の長さは1,867.1mmです。
枠のように幅のある型板を作るときは、同じ中心から、半径R＋幅で外側の線を書きます。
早見表：幅と矢高から半径と円弧の長さ
| 幅（弦） | 矢高 | 半径 | 円弧の長さ |
|---|---|---|---|
| 600 | 100 | 500.0 | 643.5 |
| 900 | 150 | 750.0 | 965.3 |
| 900 | 200 | 606.3 | 1,014.2 |
| 1,200 | 200 | 1,000.0 | 1,287.0 |
| 1,200 | 300 | 750.0 | 1,390.9 |
| 1,800 | 300 | 1,500.0 | 1,930.5 |
| 1,800 | 450 | 1,125.0 | 2,086.4 |
| 2,400 | 400 | 2,000.0 | 2,574.0 |
単位はmmです。円弧の長さは、R天井の見切りや、アーチに回す材料の長さの目安になります。
計算例2：幅900・矢高150のR開口
半径は（900² ÷ 4 ＋ 150²）÷（2 × 150）＝ 750mm、中心は弦の真ん中から600mm下です。弦を6等分した位置の高さは次のとおりです。
| 弦の端からの距離（mm） | 弦からの高さ（mm） |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 150 | 87.4 |
| 300 | 134.8 |
| 450（真ん中） | 150.0 |
| 600 | 134.8 |
| 750 | 87.4 |
| 900 | 0 |
半円より深い円弧のとき
矢高が弦の半分より大きいと、円弧は半円より大きくなり、中心は弦より上（円弧の側）に来ます。半径の式は同じですが、円弧の長さは 2 × R ×（π − sin⁻¹（C ÷（2R）））で出します。たとえば幅1,200mm・矢高800mmなら、半径625mm、中心は弦から175mm上、円弧の長さは2,318.2mmです。
中心が取れないときの書き方
- 弦を引き、等分した位置で弦に直角な線を立てます。
- 各線に、表の高さを取って点を打ちます。
- しなる細い材（バテン）を点に沿わせて、なめらかな線を引きます。
場所に余裕があれば、中心にくぎを打って、半径の長さの糸や棒で円を描くのが確実です。
よくある失敗
矢高を弦の端から測る
矢高は、弦の真ん中から円弧までの高さです。弦の端や床から測った高さを入れると、半径が大きく変わります。
中心の位置を弦から半径の長さで取る
中心は、弦の真ん中から R − h（半径 − 矢高）の位置です。弦から半径の長さを取ると、中心が遠すぎて円弧が平たくなります。
糸がたるむ
半径が大きいと、糸がたるんだり伸びたりして誤差が出ます。長い半径では、糸よりも伸びない細い板や棒を使うか、上の表の高さで点を取って書きます。
円弧の計算についてよくある質問
幅と高さから半径を出すには
半径 R =（幅² ÷ 4 ＋ 矢高²）÷（2 × 矢高）です。幅1,800mm・矢高300mmなら1,500mmになります。
半径と幅から矢高を出すには
矢高 h = R − √（R² − 幅² ÷ 4）です。幅1,800mmを半径2,000mmにすると、矢高は213.9mmです。
半円のアーチの半径は
矢高が幅のちょうど半分なら半円で、半径は幅の半分です。幅1,800mmなら半径900mm、円弧の長さは2,827.4mmです。
