四角いホッパー（角錐台）の展開図の書き方面の高さ・稜線・曲げ角度の計算
四角いホッパーや角ダクトのレジューサーは、角錐台（四角すいの上を切った形）です。4枚の台形の面でできているので、それぞれの面の本当の形（実形）が分かれば展開図が描けます。この記事では、面の高さ・稜線の長さ・曲げ角度の出し方を、大きい方の四角800×600、小さい方の四角300×200、高さ400の例で説明します。
面は台形、ただし高さは斜めに測る
ホッパーを横から見た高さは400mmですが、面は傾いているので、面の上で測った台形の高さはもっと長くなります。この「面の高さ」は、四角の辺どうしの寸法の差の半分と、ホッパーの高さから計算します。
寸法の計算式
| 求めるもの | 計算式 |
|---|---|
| 幅800の面の高さ | √（高さ² ＋（（600 − 200）÷ 2）²） |
| 奥行600の面の高さ | √（高さ² ＋（（800 − 300）÷ 2）²） |
| 稜線（角の線）の長さ | √（高さ² ＋（幅の差 ÷ 2）² ＋（奥行の差 ÷ 2）²） |
計算例：800×600から300×200・高さ400
図はホッパーの向き（大きい方が上）で描いています。ツールは上下どちらの四角を大きくしても同じ展開図が出ます。リンク先の例は、大きい方を「下」の欄に入れています。
| 面 | 長い辺 | 短い辺 | 面の高さ | 稜線の長さ | 稜線の曲げ角度 |
|---|---|---|---|---|---|
| 幅の面（2枚） | 800 | 300 | 447.2 | 512.3 | 76.3° |
| 奥行の面（2枚） | 600 | 200 | 471.7 | 512.3 | 76.3° |
幅の面の高さは √（400² ＋ 200²）＝ 447.2mm、奥行の面は √（400² ＋ 250²）＝ 471.7mm、稜線は √（400² ＋ 250² ＋ 200²）＝ 512.3mmです。
外寸で作るときは、四角の寸法から、面の傾きの分も含めた板厚を引いて、板厚の中心で展開します。板厚3.2なら、幅は 3.2 × 471.7 ÷ 400 ＝ 3.8mm 引いて796.2、奥行は 3.2 × 447.2 ÷ 400 ＝ 3.6mm 引いて596.4です。上の四角も同じだけ引きます。面の高さは変わりません。
計算例2：正方形600×600から200×200・高さ300
上下とも正方形なら、4枚の面はすべて同じ台形になります。
| 求めるもの | 計算 | 値 |
|---|---|---|
| 面の高さ | √（300² ＋ 200²） | 360.6mm |
| 稜線の長さ | √（300² ＋ 200² ＋ 200²） | 412.3mm |
| 稜線の曲げ角度 | cos⁻¹（200 × 200 ÷ 360.6²） | 72.1°（内側の角度107.9°） |
1枚の台形は、長い辺600・短い辺200・高さ360.6です。同じ型紙を4回使って描けます。
展開図の書き方
- 幅の面の台形を描きます。長い辺800、短い辺300、高さ447.2で、短い辺を真ん中にそろえます。
- 斜めの辺（稜線）の長さが512.3になっているかを確かめます。
- その稜線を共有して、隣に奥行の面の台形（600・200・高さ471.7）を描きます。
- 同じように4枚を順につなぐと、1枚の展開図になります。合わせ目は1本の稜線か、面の真ん中にとります。
曲げ角度
稜線で板を折り曲げるときの角度は、隣り合う2枚の面の傾きから決まります。この例では76.3°で、ベンダーでこの角度だけ曲げます（折り曲げ機の設定の仕方によっては、180°から引いた値を使います）。
上下の中心がそろったホッパーでは、曲げ角度は cos（曲げ角度）＝（幅の差 ÷ 2）×（奥行の差 ÷ 2）÷（幅の面の高さ × 奥行の面の高さ）で出せます。この例では 250 × 200 ÷（447.2 × 471.7）＝ 0.237 で、76.3°です。180°から引いた内側の角度は103.7°です。
上の四角と下の四角の中心がずれた偏心のホッパーでは、4枚の面の形がそれぞれ違うので、1枚ずつ実形を出す必要があります。丸から四角へ変わる形は角丸の展開図の書き方を見てください。
よくある失敗
台形の高さに、ホッパーの高さを使う
台形の高さは、面の上で測った長さ（面の高さ）です。横から見たホッパーの高さ400mmで台形を描くと、面が短くなり、組み立てたときに高さが足りなくなります。
幅の面と奥行の面の高さを取り違える
幅の面の高さは奥行の差から、奥行の面の高さは幅の差から計算します。取り違えると、稜線の長さが合わなくなります。描いたら、稜線が計算どおりの長さになっているかで確かめます。
曲げ角度の表し方を取り違える
ここで出した曲げ角度は、板を平らな状態から折り曲げる角度です。折り曲げ機によっては、180°から引いた内側の角度で設定するので、機械の表し方を確かめます。
角錐台ホッパーについてよくある質問
四角いホッパーの展開図はどう描きますか
4枚の台形の面の実形（長い辺・短い辺・面の高さ）を出し、稜線を共有しながら順につないで描きます。
面の高さはどう出しますか
ホッパーの高さと、その面に直角な方向の寸法の差の半分から、√（高さ² ＋ 差の半分²）で出します。
上下の中心がずれたホッパーは
4枚の面の形がそれぞれ違うので、面ごとに実形を出して描きます。
