三角錐・四角錐の展開図の書き方斜めの高さと側辺の長さの求め方
三角錐や四角錐の展開図は、底面の多角形のまわりに、側面の三角形を並べた形になります。側面の三角形の大きさは、「斜めの高さ」か「側面の辺（側辺）の長さ」が分かれば決まります。この記事では、高さから斜めの高さを出す計算と、展開図の描き方を説明します。
角錐の展開図は「底面＋三角形」
角錐の側面は、底面の辺の数だけの三角形です。四角錐なら4つ、三角錐なら3つ、六角錐なら6つになります。底面が正方形や正三角形で、頂点が底面の中心の真上にある角錐（正角錐）なら、側面の三角形はすべて同じ形の二等辺三角形です。
斜めの高さと側辺の求め方
問題によっては、円錐の母線のように側面の長さが最初から分かっていることもありますが、工作や板金では「底面の大きさと高さ」で決まっていることが多いです。その場合は、三平方の定理で側面の長さを出します。
| 形 | 斜めの高さ（側面の三角形の高さ） | 側辺の長さ |
|---|---|---|
| 正四角錐（底面の1辺a・高さh） | √（h² ＋（a ÷ 2）²） | √（h² ＋ a² ÷ 2） |
| 正三角錐（底面の1辺a・高さh） | √（h² ＋｛a ÷（2√3）｝²） | √（h² ＋ a² ÷ 3） |
斜めの高さは、底面の中心から辺のまん中までの距離と、高さhでできる直角三角形の斜辺です。側辺は、底面の中心から角までの距離と、高さhでできる直角三角形の斜辺です。
計算例1：底面100mm角・高さ120mmの正四角錐
| 求めるもの | 計算 | 値 |
|---|---|---|
| 斜めの高さ | √（120² ＋ 50²） | 130mm |
| 側辺の長さ | √（120² ＋ 100² ÷ 2） | 139.3mm |
側面は、底辺100mm・高さ130mmの二等辺三角形が4つです。斜めの辺が139.3mmになっていれば正しく描けています。
計算例2：底面の1辺100mm・高さ100mmの正三角錐
| 求めるもの | 計算 | 値 |
|---|---|---|
| 底面の中心から辺までの距離 | 100 ÷（2 × √3） | 28.9mm |
| 斜めの高さ | √（100² ＋ 28.9²） | 104.1mm |
| 側辺の長さ | √（100² ＋ 100² ÷ 3） | 115.5mm |
すべての辺が同じ長さの三角錐は、正四面体といいます。正四面体の展開図は、同じ大きさの正三角形4つでできます。1辺100mmの正四面体の高さは約81.6mmです。
展開図の描き方
- まん中に底面（正方形や正三角形）をかきます。
- 底面の各辺のまん中から、辺に直角な線を外向きに引き、斜めの高さの位置に印を付けます。
- 印と、辺の両端を結んで三角形をかきます。これを辺の数だけくり返します。
- 三角形の斜めの辺をはかり、側辺の長さと合っているか確かめます。
- 組み立てる場合は、となりの三角形と貼り合わせる辺にのりしろを付けます。
側面の三角形は、底面のまわりではなく横一列に並べてもかまいません。その場合は、三角形どうしが側辺を共有するように、扇のように並べていきます。
板金で四角錐を作る場合
板金で四角錐や四角いホッパーを作るときは、1枚の板から4面をつなげて切り出し、稜線で折り曲げます。角錐台ホッパーの展開図ツールで上の寸法を0にすると、四角錐の側面4枚をつなげた展開図と、稜線を曲げる角度（平らな板から折る角度。この例では81.5°）が出ます。底面が長方形の四角錐や、頂点が中心からずれた形にも使えます。円錐の場合は円錐の展開図の書き方を見てください。
